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%%文档的题目、作者与日期
\author{2024级数学与应用数学1班}
\title{常微分方程实际案例复习题}
\date{2025年11月18日}

\begin{document}

\maketitle

\begin{enumerate}[label=\textbf{问题 \arabic*.}, wide=0pt, leftmargin=*]

\item \textbf{串联电路模型}：考虑一个由电阻 $R$、电感 $L$ 和电源 $E(t)$ 组成的RL串联电路。设电流为 $I(t)$，根据基尔霍夫电压定律建立描述该电路的常微分方程，并写出其标准形式。若 $E(t) = E_0$（常数），求该方程的通解。

\item \textbf{人口增长模型}：马尔萨斯人口模型假设人口增长率与当前人口数量成正比。设人口数量为 $P(t)$，比例常数为 $k>0$，写出对应的常微分方程并求其通解。进一步，若引入环境承载力 $K$ 得到逻辑斯蒂（Logistic）模型，请写出该非线性微分方程并说明其平衡点及其稳定性。

\item \textbf{单摆运动模型}：考虑长度为 $l$、质量为 $m$ 的理想单摆，在重力加速度 $g$ 作用下做小角度摆动。设摆角为 $\theta(t)$，忽略空气阻力，推导其运动满足的二阶常微分方程。在小角度近似（$\sin\theta \approx \theta$）下，将方程线性化并求出通解。

\item \textbf{探照灯镜面设计}：探照灯要求光源位于焦点处时反射光线平行于主轴。设镜面为旋转曲面，母线为 $y = y(x)$，利用几何光学原理（入射角等于反射角）推导出满足该条件的曲线所满足的一阶常微分方程，并指出该曲线为何种圆锥曲线。

\item \textbf{条形磁铁的磁场模型}：在二维平面上，考虑一条沿 $x$ 轴放置的条形磁铁。（1）建立微分方程模型。（2）考虑简化模型，设其磁场线满足微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^2 - y^2}$, 请验证该方程为齐次方程，并通过变量代换将其化为可分离变量形式，写出变换后的方程。

\item \textbf{落体运动模型}：一物体从静止开始在空气中自由下落，设其质量为 $m$，重力加速度为 $g$，空气阻力与速度成正比（比例系数为 $k>0$）。设下落速度为 $v(t)$，建立描述该运动的一阶线性常微分方程，并写出其初值问题形式。若阻力与速度平方成正比（即 $F_{\text{阻}} = kv^2$），写出此时的微分方程并判断其类型。

\item \textbf{食饵-捕食者模型（Lotka-Volterra 模型）}：设食饵数量为 $x(t)$，捕食者数量为 $y(t)$，模型为：
\[
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} = ax - bxy, \\
\frac{dy}{dt} = -cy + dxy,
\end{cases}
\]
其中 $a,b,c,d > 0$。请写出该系统的平衡点，并通过消去时间变量 $t$ 得到轨道方程 $\frac{dy}{dx}$ 的表达式，说明如何将其化为可分离变量方程。

\end{enumerate}

\end{document}